Question

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的长；
（2）若AD=BC=2a，EF=

3

a，求异面直线AD与BC所成的角的余弦值．

Answer 1

（1）如图所示．
连接EC，ED．
∵AB=BC=AC=2a，
∴△ABC是等边三角形．
又AE=EB，∴CE⊥AB．
∴CE=

3

a．
同理DE=

3

a．
在△CED中，∵CE=ED=

3

a，CF=FD=a，
∴EF=

CE2-CF2

=

2

a；
（2）如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
∴∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角，
又AD=BC=2a，
∴EM=FM=a．
在△EFM中，由余弦定理可得：cos∠EMF=

EM2+FM2-EF2

2EM•FM

=

a2×2-( 3 a)2

2×a2

=-

1

2

．
∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

1

2

．