Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n，并证明：

Sn

2n

＞2n-3．

Answer 1

（Ⅰ）∵an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N^*），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1（n≥2，且n∈N^*），…（3分）
所以，数列{

an

2n

}是等差数列，公差d=1，首项

1

2

，…（5分）
于是

an

2n

=

1

2

+(n-1)d=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∴an=(n-

1

2

)•2n．…（7分）
（Ⅱ）∵Sn=

1

2

•2+

3

2

•22+

5

2

•23+…+（n-

1

2

）•2ⁿ，①
∴2S_n=

1

2

•22+

3

2

•23+

5

2

•24+…+(n-

1

2

)•2n+1，②…（9分）
①-②，得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1
=2+2²+2³+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1-1
=

2(1-2n)

1-2

-(n-

1

2

)•2n+1-1
=（3-2n）•2ⁿ-3，…（12分）
∴Sn=(2n-3)•2n+3＞（2n-3）•2ⁿ，
∴

Sn

2n

＞2n-3．…（14分）