Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow{b}$=（2，2）．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值；
（Ⅱ）λ为何值时，$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．
（Ⅱ）根据（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left|{a}\right|=\sqrt{{{（-3）}^2}+{4^2}}=5$，$\left|{b}\right|=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x₁x₂+y₁y₂=-6+8=2，
∴$cosθ=\frac{{{a}•{b}}}{{\left|{a}\right|\left|{b}\right|}}=\frac{1}{{5\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，即 $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（-3+2λ，4+2λ），∵$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，
则（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=（-3）（-3+2λ）+4（4+2λ）=0，解得$λ=-\frac{25}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的条件，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．