Question

6．如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD⊥平面ABCD，平面SDC⊥平面ABCD，SD=$\sqrt{3}$，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE交SB于点F．
（1）求证：EF∥CD；
（2）求三棱锥S-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB，知CD∥平面SAB，由此能证明CD∥EF．
（2）推导出EF⊥平面SAD，由此能求出三棱锥S-DEF的体积．

解答 证明：（1）∵在直角梯形ABCD中CD∥AB，
AB?平面SAB，CD?平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
又∵平面CDEF∩平面SAB=EF，
∴CD∥EF．…（6分）
解：（2）∵CD⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD，同理AD⊥SD，
由（1）知EF∥CD，∴EF⊥平面SAD，
∵EC=AC，∠ADC=∠EDC=90°，
∴△ADC≌△EDC，∴ED=AD，
在Rt△SDA中，∵AD=1，SD=$\sqrt{3}$，∠SAD=60°，
又∵ED=AD=1，∴E为SA中点，EF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴△SED的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥S-DEF的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{24}$．…（12分）

点评 本题考查线线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意空间思维能力的培养．