Question

夹在直二面角α-MN-β两面间的一线段AB，与两面所成的角分别为30°和45°，过端点A、B分别作棱MN的垂线，垂足为C、D，若AB=5cm，求CD的长．

Answer 1

分析：利用面面垂直的性质定理、线面角的定义及含30°、45°的直角三角形的边角关系、勾股定理即可得出．

解答：解：如图所示：
∵AC⊥MN，α⊥β，∴AC⊥β，∴AC⊥BC，
∴∠ABC是斜线AB与平面β所成的角，∴∠ABC=45°．
∵BD⊥MN，α⊥β，∴BD⊥α，∴BD⊥DA，
∴∠BAD是斜线AB与平面α所成的角，∴∠BAD=30°．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AB=5，∴AD=ABcos30°=5×

3

2

=

5 3

2

．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=45°，AB=5，∴AC=

2

2

×5=

5 2

2

．
在Rt△ACD中，由勾股定理可得
CD=

AD2-AC2

=

( 5 3 2 )2-( 5 2 2 )2

=

5

2

=2.5cm．

点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、线面角的定义及含30°、45°的直角三角形的边角关系、勾股定理是解题的关键．