Question

（2009•虹口区一模）正数等差数列{a_n}，若存在常数t，使得a_2n=ta_n，对一切n∈N^*均成立，则t可能取的值是（　　）

A．1

B．2

C．1或2

D．1或3

Answer 1

分析：根据等差数列通项公式，将“若存在常数t，使得a_2n=ta_n，对一切n∈N^*均成立”，转化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立问题解决．

解答：解：{a_n}是正数等差数列，a_2n=ta_n   那么根据等差数列通项公式可得a₁+（2n-1）d=t[a₁+（n-1）d]，移向化简并整理得（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立．
∴

2d-td=0   ① (1-t)(a1-d)=0  ②

  由①得，t=2，此时结合②，a₁=d≠0，数列的通项公式为a_n=nd，符合题意．
由②得，t=1，结合①d=0，数列的通项公式an=a1 数列为正数常数列，符合题意．
所以t可能取的值是 1，2
故选C．

点评：本题考查在数列背景下的等式恒成立的条件．转化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立是关键．要注意验证t的取值是否使得数列存在．