Question

已知f（x）=ax³-2x²+cx的导函数的值域为[0，+∞），是的最小值为

1. A.
   0
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：先求函数的导函数f′（x）=ax²-4x+c，由导函数的值域为[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2=4，再将所求代数式通分化简为关于（a+c）的函数，最后设t=a+c利用换元法，结合导数求得函数的最小值
解答：f（x）=ax³-2x²+cx的导数为f′（x）=ax²-4x+c
∵导函数的值域为[0，+∞），
∴
解得：
∵===
===-
设t=a+c≥2=4，∴t∈[4，+∞）
∴=
设g（t）= t∈[4，+∞）
g′（t）=+＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[，+∞）
∴的最小值为
故选C
点评：本题考察了导函数的求法，二次函数图象和性质，均值定理的应用以及换元法求函数的值域的方法