Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），则λ+2μ的取值范围是（　　）

• A．[3-

  2

  ，3+

  2

  ]
• B．[3-

  2

  2

  ，3+

  2

  2

  ]
• C．[3-

  10

  10

  ，3+

  10

  10

  ]
• D．[3-3

  10

  10

  ，3+3

  10

  10

  ]

Answer 1

分析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，可求出λ，μ满足的关系式，进而根据柯西不等式得到λ+2μ的取值范围．

解答：解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系则
A（0，0），D（0，4），C（2，4），B（2，0）
则

AB

=（2，0），

AD

=（0，4），
令P（x，y），则

AP

=（x，y），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AD

∴

x=2λ y=4μ

∵点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∴（x-2）²+（y-4）²=1
即（2λ-2）²+（4μ-4）²=1
由柯西不等式可得3-

2

2

≤λ+2μ≤3+

2

2

故选B

点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，柯西不等式，其中根据已知求出λ，μ满足的关系式是解答的关键．