Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，，AA₁=，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁。

（1）求证：AM⊥平面A₁BC；
（2）求二面角B-AM-C的大小；
（3）求点C到平面ABM的距离。

Answer 1

解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，易知面ACC₁A₁⊥面ABC，
∵∠ACB = 90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁， 
∵AM面ACC₁A₁
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA₁，且BC∩BA₁=B
∴AM⊥平面A₁BC；
（2）以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

设
∵
∴
即=0
故
所以
设向量为平面AMB的法向量，则
则即
令x=1的平面AMB的一个法向量为
显然向量是平面AMC的一个法向量

易知，与所夹的角等于二面角B - AM - C的大小，
故所求二面角的大小为45°。
（3）向量在法向量上的投影的长即为所求距离
∴
∴点C到平面ABM的距离为。