Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足等式a_n+2S_n=3．
（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；
（2）能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，且使它的所有项和S满足

9

160

＜S＜

1

13

，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

分析：（1）由a_n+2S_n=3，得an+1=

1

3

an，从而得到an=

1

3n-1

，由此利用反证法推导出不存在按原来顺序成等差数列的任意三项．
（2）设抽取的等比数列首项为

1

3m

，公比为

1

3n

，项数为k，且m，n，k∈N^*，则S（k）=

1 3m [1-( 1 3n )k]

1- 1 3n

＜

1 3m

1- 1 3n

，由此能推导出满足题意的等比数列有且只有一个．

解答：解：（1）∵a_n+2S_n=3，∴当n=1时，a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∵a_n+2S_n=3，∴a_n+1+2S_n+1=3，
两式相减，得an+1=

1

3

an，
∴{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，
∴an=

1

3n-1

，
假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），
则

2

3q-1

=

1

3p-1

+

1

3r-1

，即

2

3q

=

1

3p

+

1

3r

，
∴2•3^r-q=3^r-p+1，即3^r-q（2-3^q-p）=1，
∵P＜q＜r，∴r-q，r-p∈N^*，
∴3^r-q＞3，2-3^q-p＜0，
∴3^r-q（2-3^q-p）＜0，
∴假设不成立，∴不存在按原来顺序成等差数列的任意三项．
（2）设抽取的等比数列首项为

1

3m

，公比为

1

3n

，项数为k，且m，n，k∈N^*，
则S（k）=

1 3m [1-( 1 3n )k]

1- 1 3n

＜

1 3m

1- 1 3n

，
∵

9

160

＜S＜

1

13

，∴

9

160

＜

1 3m

1- 1 3n

＜

1

13

，
∴

13 3m ＜1- 1 3n …① 9＜ 9 3n + 160 3m …②

，
由①得

1

3n

+

13

3m

＜1，∴m≥3，n≥1．
由②得

160

3m

+

9

3n

＞9，
当m=3，n=1时，适合条件，这时等比数列首项为

1

33

=

1

27

，公比为

1

31

=

1

3

，
当m=3，n＞1时，均不合适；当m＞3，n≥1时，均不合适，
综上所述，满足题意的等比数列有且只有一个．

点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查，对数学思维的要求较高，是道综合性很强的好题．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．