Question

（2013•惠州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求

3

sinA-cos(B+C)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中，利用正弦定理将csinA=acosC化为sinCsinA=sinAcosC，从而可求得角C的大小；
（II）利用两角和的余弦与辅助角公式可将

3

sinA-cos（B+C）化为

3

sinA-cos（B+C）=2sin（A+

π

6

），从而可求取得最大值时角A，B的大小．

解答：解析：（I）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴sinC=cosC，又cosC≠0，
∴tanC=1，又C是三角形的内角
即∠C=

π

4

…（4分）
（II）

3

sinA-cos（B+C）=

3

sinA-cos（π-A）
=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

）…（7分）
又0＜A＜

3π

4

，

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
所以A+

π

6

=

π

2

即A=

π

3

时，2sin（A+

π

6

）取最大值2．      （10分）
综上所述，

3

sinA-cos（B+C）的最大值为2，此时A=

π

3

，B=

5π

12

…（12分）

点评：本题考查正弦定理，考查两角和的余弦与辅助角公式，考查求三角函数的最值，掌握三角函数的基本关系是化简的基础，属于中档题．