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已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线D的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点.(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
(Ⅰ)由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p>0).…(1分)
椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
中a2-b2=4-3=1,得c=1,∴抛物线的焦点为(1,0),
p
2
=1,∴p=2,∴抛物线D的方程为y2=4x.…(3分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(i)直线l的方程为:y=x-4,…(4分)
联立
y=x-4
y2=4x
,整理得:x2-12x+16=0…(5分)
∴x1+x2=12,x1x2=16
∴|AB|=
(1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2
=4
10
.…(7分)
(ⅱ) 设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(
x1+4
2
y1
2
)
,过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2,…(9分)
即|EG|2=|MA|2-|ME|2=
(x1-4)2+y12
4
-(
x1+4
2
-a)2

=
1
4
y12+
(x1-4)2-(x1+4)2
4
+a(x1+4)-a2

=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…(11分)
当a=3时,|EG|2=3,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2
3
.…(12分)
因此存在直线m:x=3满足题意                        …(13分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线D的顶点是椭圆Q:
x2
4
+
y2
3
=1
的中心O,焦点与椭圆Q的右焦点重合,点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线D上的两个动点,且|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
(Ⅰ)求抛物线D的方程及y1y2的值;
(Ⅱ)求线段AB中点轨迹E的方程;
(Ⅲ)求直线y=
1
2
x
与曲线E的最近距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线D的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点.(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•海珠区一模)已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D的方程;
(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点,坐标原点O为PQ中点,求证:∠AQP=∠BQP;
(3)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D的方程;
(2)已知直线l过点P(4,0)交抛物线于A,B两点,是否存在垂直于x轴的直线x=m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出直线x=m的方程;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:2013届度宁夏高二上学期期末考试理科数学试卷 题型:解答题

已知抛物线D的顶点是椭圆Q:的中心O,焦点与椭圆Q的右焦点重合,点是抛物线D上的两个动点,且

   (1)求抛物线D的方程及y1y2的值;

   (2)求线段AB中点轨迹E的方程;

   (3)在曲线E上寻找一点,使得该点与直线的距离最近.

 

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