Question

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），
有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
．
分析：（1）赋值法：令x=y=0可求得f（0），再令y=-x即可判定其奇偶性；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），由x＞0时，有f（x）＜0可得f（x₂）与f（x₁）的大小关系，由单调性定义即可判定单调性；
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数，从而可判断其最值在端点处取得，再由及已知条件即可得到答案；
点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，考查抽象函数最值的求法，考查学生解决问题的能力．