Question

【题目】已知函数 ．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x∈R，∵ ，

∴f（x）是奇函数

（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则

= = ，

∵x1＜x2，∴ ，

∵ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函数

（3）解：∵f（x）为奇函数且在R上为增函数，

∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0化为f（mt2+1）＞﹣f（1﹣mt）=f（mt﹣1），

∴mt2+1＞mt﹣1对任意的t∈R恒成立，

即mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．

①m=0时，不等式化为2＞0恒成立，符合题意；

②m≠0时，有 即0＜m＜8．

综上，m的取值范围为0≤m＜8

【解析】（1）根据f（-x）=-f（x）是否成立进行判断；（2）任取x12∈R，且x1＜x2，作差法比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）根据f（-x）=-f（x）可知f（1-mt）=-f（mt-1），将原式转化为mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立.
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．