Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点，若在抛物线的准线上存在点P，使△PAB是等边三角形，则直线l的斜率等于

2

2

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=k（x-

p

2

），根据抛物线的定义结合直线l方程，可将AB中点Q坐标化成（

1

2

（|AB|-p），

k

2

|AB|-kp），再用直线AB的中垂线方程和准线方程联解，得P的坐标为（-

p

2

，

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp），最后利用两点的距离公式列式结合|PQ|=

3

2

|AB|，解之即可得到直线l的斜率k的值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=k（x-

p

2

），AB中点为Q（

1

2

（x₁+x₂），

1

2

（y₁+y₂））
∵AB是抛物线经过焦点的弦，∴x₁+x₂+p=|AB|，
代入直线方程，可得y₁+y₂=k（x₁-

p

2

）+k（x₂-

p

2

）=k|AB|-2kp，
因此可得Q（

1

2

（|AB|-p），

k

2

|AB|-kp）
∵PQ是等边三角形的中线，也是它的高
∴PQ的方程为：y-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[x-

1

2

（x₁+x₂）]，
设P（-

p

2

，t），代入得：t-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[-

p

2

-

1

2

（x₁+x₂）]=

1

2k

（x₁+x₂+p），
∴t=

1

2

（y₁+y₂）+

1

2k

（x₁+x₂+p）=

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp，
得P（-

p

2

，

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp），
∴|PQ|=

[- p 2 - 1 2 (|AB|-p)]2+[( k 2 |AB|+ 1 2k |AB|-kp)-( k 2 |AB|-kp)]2

=

1

2

1+ 1 k2

|AB|
又PQ=

3

2

|AB|，即

1

2

1+ 1 k2

|AB|=

3

2

|AB|，可得k²=

1

2

∵直线l的斜率k大于0，∴k=

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题给出抛物线的准线上存在一点与抛物线的焦点弦构成正三角形，求弦的斜率，着重考查了抛物线的简单几何性质和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．