Question

（本小题满分14分）已知函数，设曲线过点，且在点处的切线的斜率等于，为的导函数，满足．

（1）求；

（2）设，，求函数在上的最大值；

（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）;（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）求导可得，根据， 可知的图像关于直线对称，得，又由已知有：∴ ，即可求出结果．（2）由于，得 作出其图像，然后再分类讨论即可求出结果；（3），记，当时，，即只要，即可求出结果．

试题解析：【解析】
（1）求导可得 1分

∵， ∴的图像关于直线对称，∴ 2分

又由已知有：∴ 4分

∴ 5分

（2），

7分

其图像如图所示．

当时，，根据图像得：

（ⅰ）当时，最大值为；

（ⅱ）当时，最大值为；

（ⅲ）当时，最大值为． 10分

（3），

记，有 11分

当时，，

只要，

实数的取值范围为， 14分．

考点：1．导数的性质；2．利用导数求最值；3．恒成立问题．