Question

已知f（x）=-x²+4x，给定x₁，数列{x_n}满足x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），若无穷个项的数列{x_n}中的项能取的不同的值为有限个，则x₁的不同的值的个数m满足

1. A.
   m=0
2. B.
   1≤m≤5
3. C.
   m＞5且m只有有穷个
4. D.
   m有无穷个

Answer 1

D
分析：由题设，可对x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），进行变形，得到x_n-1+4=，由此关系对任意的n=2，3，4，…，都成立，由此得到x_n-2+4=，…，x₁+4=，各式相乘得出x₁的表达式，再由题设中数列{x_n}中的项能取的不同的值为有限个判断出x₁的不同的值的个数m．
解答：由题意（x_n-1）²+4（x_n-1）=x_n，即（x_n-1+4）×（x_n-1）=x_n，即x_n-1+4=，
故有x_n-2+4=，…，x₁+4=
各式相乘得：（x₁+4）（x₂+4）（x₃+4）（x₄+4）…（x_n-1+4）=
∴x₁=
x_n能取得的值为有限的，而被除的部分（x₁+4）（x₂+4）（x₃+4）（x₄+4）…（x_n-1+4）的值随着n的变化面变化，知x₁的不同取值有无穷个，故m的取值为无穷个
故选D
点评：本题考查数列与函数的综合，解题的关键是根据所给的数列的递推关系，构造出x₁的表达式，再由所得的形式判断出它的取值的个数，本题比较抽象，较难理解，此类题易因为不理解而导致无法下手，千百万解题失败，题后要注意总结本题的做题规律及问题转化的依据，本题在变形过程中用到了累乘的技巧，积累一些变形技巧对解题很有帮助．