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    已知双曲线，点在曲线上，曲线的离心率为，点、为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点。

    （1）求曲线上方程；

    （2）若为曲线的焦点，求最大值；

    （3）若以为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出定点坐标。

     

     

    【答案】

    （1）方程为

    （2）由双曲线的对称性知，不妨设P在左支上，设，由焦半径得：

      ，所以

    所以，当时取等号。

    的最大值是。

    （3）设，联立直线PQ和双曲线方程得：

    ，所以得。

    且，由题知，

    所以，

    ，

    代入的，

    解得或（舍去），所以PQ方程为，

    即得PQ过定点

    （说明：另解一，可以利用对称和当PQ垂直情况猜过轴上点，然后证明；

    另解二，设AP斜率，求出P，Q坐标，然后利用两点式写出方程判断过定点，）

     

     

     

    【解析】略

     

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    x2
    2
    -y2=1    ，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点”
    （1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
    （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；
    （3）求证：圆x2+y2=
    1
    2
    内的点都不是“C1-C2型点”

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    （1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

    （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；

    （3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”

     

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    （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；
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