Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），离心率为．
（I）求椭圆G的方程；
（II）设直线y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

解：（I）依题意可设椭圆方程为（a＞0），则离心率为=
故，而b²=1，解得a²=3，…（4分）
故所求椭圆的方程为．…（5分）
（II）设P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①…（7分）
∴，从而y_P=kx_P+m=，
（1）当k≠0时，=-（m=0不满足题目条件）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则-=-，即2m=3k²+1，②…（9分）
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，…（10分）
由②得k²=，解得m＞．
故…（11分）
（2）当k=0时
∵直线y=m是平行于x轴的一条直线，∴-1＜m＜1…（13分）
综上，求得m的取值范围是-1＜m＜2． …（14分）
分析：（I）先设椭圆方程，利用离心率为，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程；
（II）直线y=kx+m与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相交可得m²＜3k²+1，及点P的坐标，从而可得AP的斜率，再分类讨论，利用|AM|=|AN|，即可求得m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，联立方程是关键．