Question

19、已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x，（a≥0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[0，1]，f（x）≥1恒成立，求a取值范围．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x分类讨论：①当a=0时，②当a＞0时，先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）先对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a＞1时，③当0＜a≤1时，分别验证对于任意x∈[0，1]，f（x）≥1是否恒成立，最后综合即得a取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x
①当a=0时，f'（x）=（x+1）²e^x，所以f'（x）=（x+1）²e^x≥0对于任意x∈R成立，所以f（x）在x∈R单调增函数；
②当a＞0时，由f'（x）=0解得x₁=-1或x₂=a-1，且x₁＜x₂，
知f（x）在（-∞，-1）和（a-1，+∞）上增函数；
知f（x）在（-1，a-1）上减函数．
（2）①当a=0时，f（x）在R上增函数，f（x）≥f（0）=1恒成立．
②当a＞1时，f（x）在[0，a-1]上减函数，f（x）≤f（0）=1，不恒成立．
③当0＜a≤1时，f（x）[0，1]上增函数，f（x）≥f（0）=1恒成立．
综上所述：0≤a≤1．

点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断函数的单调性，并根据函数的增减性得到函数的最值，解答的关键是掌握函数的恒成立问题与最值的关系，是一道中档题．