Question

已知抛物线E：y²=4x，点F（a，0），直线l：x=-a（a＞0）．
（Ⅰ）P为直线l上的点，R是线段PF与y轴的交点，且点Q满足RQ⊥FP，PQ⊥l．当a=1时，试问点Q是否在抛物线E上，并说明理由；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线E于A，B两点，直线OA，OB分别与直线l交于M，N两点（O为坐标原点），求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：数形结合,方程思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据题意，结合图形，利用抛物线的定义，得出Q点在抛物线E；
（Ⅱ）由图形的对称性得出定点在x轴上，设出定点的坐标，讨论①直线AB的斜率不存在时与②直线AB的斜率存在时，求出以MN为直径的圆恒过定点是什么．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=1，得F（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线；
∵O点为FC的中点，且OR∥PC，∴点R是线段PF的中点，
又∵RQ⊥PF，∴QR是PF的垂直平分线，∴PQ=QF；
根据抛物线的定义知，Q点在抛物线E：y²=4x上；
（Ⅱ）由图形的对称性知，定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），
①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为x=a，
求得A（a，2

a

），B（a，-2

a

），M（-a，2

a

），N（-a，-2

a

）；
显然，以MN为直径的圆恒过定点（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-a），代入y²=4x得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0；
设A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=

2ak2+4

k2

，x₁x₂=a²；
又k_OA=

2

x1

k_OB=-

2

x2

∴直线OA的方程为y=

2

x1

x，
直线OB的方程为y=-

2

x2

x；
∴M（-a，-

2a

x2

），N（-a，

2a

x1

）；
由于圆恒过点Km0），根据圆的性质得∠MKN=90°，
即

KM

•

KN

=0，
∴

KM

=（-a-m，-

2a

x2

），

KN

=（-a-m，

2a

x1

），
代入上式向量的数量积，得；（a+m）²-

4a2

x1x2

=0，
∴（a+m）²-4a=0，解得m=±2

a

-a；
∴以MN为直径的圆恒过定点（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）．

点评：本题考查了抛物线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线方程、圆的方程的应用问题，考查了用代数的方法研究圆锥曲线的性质的问题，考查了数形结合的思想与方程的思想，是综合性题目．