Question

如图所示，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=2，另一个侧面ABC是正三角形．

(1)求证：AD⊥BC；

(2)求二面角B-AC—D的大小；

(3)(理)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30°角?若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

第21题图

Answer 1

答案：(1)解法一：如图所示，取BC中点O，连接AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD．

解法二：过A作AH垂直于平面BCD于H，连接DH，

∵AB⊥BD，∴HB⊥BD．∵AD=，BD=2，

∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则四边形BHCE为正方形，则DH⊥BC，

∴BC⊥AD．

(2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN为所求二面角．

第21题图

∵AB=AC=BC=，

∴M是AC的中点，且MN∥CD．

则BM=，MN=AD=，

由余弦定理得cos∠BMN=

∴∠BMN=arccos．

(3)设E为所求的点，作EF⊥CH于F，连接FD，则EF∥AH．∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是直线ED与平面BCD所成的角，则∠EDF=30°．

设EF=x，易得AH=HC=2，

则CF=x，FD=,

∴tan∠EDF=,

解得x=，则CD=2，故在线段AC上存在E点，且CE=2时，ED与平面BCD成30°角．