Question

19．如图，在梯形ABCD中，AB=3CD=4AE，BC=3BF，DF交EC于点G，若$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$，则$\frac{m}{n}$等于（　　）

• A． $\frac{11}{6}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{14}{33}$
• D． $\frac{35}{56}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AG}$，根据平面向量的基本定理求出m，n．

解答 解：$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=-$\frac{7}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
设$\overrightarrow{EG}=λ\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DG}=μ\overrightarrow{FD}$，
则$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EG}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{12}$$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{4}+\frac{λ}{12}$）$\overline{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2μ}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{7}{9}$μ$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{7}{9}$μ$\overrightarrow{AB}$+（1+$\frac{2μ}{3}$）$\overrightarrow{AD}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{λ}{12}=-\frac{7}{9}μ}\\{λ=1+\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{11}{15}}\\{μ=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，∴m=$\frac{14}{45}$，n=$\frac{11}{15}$．∴$\frac{m}{n}$=$\frac{14}{33}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的基本定理及向量加减运算的几何意义，属于中档题．