Question

方程

1

x-1

=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于

4 020

．

Answer 1

分析：设 f（x）=

1

x-1

，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，在区间[2，2012]上，函数g（x） 共有1015个周期，因此和函数f（x）有2010个交点，因此在区间[-2010，0]上也有2010个交点．m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，因为一共有2010对这样的交点，故所有根之和等于2×2010=4020．

解答：解：设 f（x）=

1

x-1

，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点（1，0）成中心对称．
函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域为{x|x≠1}，
函数g（x） 的值域为[-2，2]，定义域为R，最小正周期为2．
在区间[0，2]上，两个函数无交点，应用介值定理，可以得到第一个交点x₀∈[2，

9

4

]．
从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，相对应的，在区间[-2010，0]上，
两个函数有和区间[2，2012]上相同多的交点．
在区间[2，2012]上，函数g（x） 共有1005个周期，因此和函数f（x）有2010个交点，
因此在区间[-2010，0]上也有2010个交点，
且对每一个交点，相对于（1，0）中心对称的点也是两个函数的交点．
而每对这样的交点之和为2，即若m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，
因为一共有2010对这样的交点．
所以，在区间[-2010，2012]上，两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，属于中档题．