Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b满足|ka+b|=

3

|a-kb|（k＞0），
（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）； 
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；
（3）求向量a与向量b的夹角的最大值．

Answer 1

分析：（1）由，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，两边平方化简可得化简可得4k

a

•

b

=k2+1，
从而可求f（k）
（2）若

a

⊥

b

可得

a

•

b

=

k2+1

4k

=0是否有解，来判断

a

和

b

是否垂直
若

a

∥

b

可得|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1是否有解，来判断

a

和

b

是否平行
（3）设

a

与

b

夹角为θ，根据向量的夹角公式可得cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
利用二次函数的性质可求

解答：解：（1）由题，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
所以(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
化简可得4k

a

•

b

=k2+1，
∴f(k)=

a

•

b

=

k2+1

4k

(k＞0)；
（2）若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=

k2+1

4k

=0，而

k2+1

4k

=0无解，因此

a

和

b

不可能垂直；
若

a

∥

b

，则|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1，解得k=2±

3

，
综上，

a

和

b

不可能垂直；
当

a

和

b

平行时，k=2±

3

；
（3）设

a

与

b

夹角为θ，
则cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
=(

k

2

-

1

2 k

)2+

1

2

≥

1

2

因此，当且仅当

k

2

=

1

2 k

即k=1时，cosθ有最小值为

1

2

，此时，向量

a

与

b

的夹角有最大值为60°．

点评：（1）考查了平面向量的数量积的性质：|

a

|=

a 2

（2）考查了平面向量的垂直与平行的坐标表示：

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0；

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0
（3）考查了向量的夹角公式与二次函数的综合应用．