Question

14．如图，O为原点，A为动点，Rt△OAB的斜边|OA|=$\sqrt{2}$，AB边上一点M使$\frac{|BM|}{|BA|}$=$\frac{1}{|OA|}$．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过顶点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得A的轨迹方程，由题意可知，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}x}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，代入A的方程即可求得M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．

解答 解：（Ⅰ）由丨OA丨=$\sqrt{2}$，则A的轨迹方程为x²+y²=2，
设M（x，y），N（x₁，y₁），
由$\frac{丨BM丨}{丨BA丨}$=$\frac{1}{丨OA丨}$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{丨x丨}{丨{x}_{0}丨}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，
代入A的轨迹方程（$\sqrt{2}$x）²+y²=2，整理得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
则M的轨迹方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，（x≠0，±1），
（Ⅱ）设直线PQ的斜率存在，直线PQ的方程y=kx+1，（k≠±1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×丨OF丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+2}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+1}×\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，即k=0，取等号，
∴△OPQ面积的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关想，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．