Question

在直角坐标平面中,已知点, ，…, 其中n是正整数. 对平面上任一点, 记A₁为A₀关于点P₁的对称点, A₂为A₁关于点P₂的对称点, ┄, A_N为A_N-1关于点P_N的对称点.

   （1）求向量的坐标;

   （2）当点A₀在曲线C上移动时, 点A₂的轨迹是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3)时,=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4)上的解析式;

   （3）对任意偶数n,用n表示向量的坐标.

Answer 1

解：（1）法一: 设点A₀(x,y), A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₁的坐标为(2-x,4-y),   

 A₂为A₁关于点P₂的对称点，A₂的坐标为(2+x,4+y),  

∴=（2，4）.

法二：=2，  ∴=（2，4）

（2） 法一∵=（2，4）,

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,

曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,

且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是, 当x∈(1,4)时, g(x)=lg(x-1)-4.

法二：设点A₀(x,y), 则A₂的坐标为(2+x,4+y)

∵点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象，于是当0<x+2≤3时，有y+4=lg(x+2)，

即当-2< x≤1时, g(x)=y=lg(x+2)-4. 

∴当x∈(1,4)时,g(x)=lg(x-1)-4.

（3） =, 由于,得

=2() =2(（1,2）+（1,2³）+…+（1,2^n-1）)

=2(,) = (n,)