Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，记$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$．P是直线$x=\frac{a^2}{c}$上一点，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|•|PF₂|=4ab，则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依题意，△PF₁F₂为直角三角形，利用勾股定理与双曲线的定义，结合|PF₁|•|PF₂|=4ab，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵PF₁⊥PF₂，|F₁F₂|=2c，
∴点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m）在以原点为圆心，半径为c的圆上，
∴（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²+m²=c²，①
又|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|•m=2cm=4ab，②
联立①②得：m²=c²-（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²=$\frac{4{a}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}}$，
整理可得：e⁴-4e²+3=0，解得：e²=3或e²=1（舍去）
∴双曲线的离心率e=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，通过方程组求得b=2a是关键，考查通过分析与转化解决问题的能力，属于中档题．