Question

设函数f（x）=（a∈N^*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{a_n}是各项非零的数列，若对任意n∈N^*成立，求数列{a_n}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{a_n}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（a∈N^*），
∴f（m）==m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=①；
又f（-m）=＜-，即＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得＞+2；
整理，得--4＞0，
根据a≠1，a∈N^*，取a=2，满足上式，当a≥3时，--4＜0，
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根据（1）知f（x）=，则=，
代入，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差数列，通项a_n=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{a_n}的通项公式不止一个，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n为奇数时）；
所以，数列{a_n}不是惟一确定的．
分析：（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-关系及（a∈N^*）构造一个不等式，求出a的值，即求出函数f（x）的表达式．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根据（1）求得f（x）的表达式，代入求出递推式s_n与a_n的关系，
再利用求出数列{a_n}的一个通项公式；
（3）根据（2）的条件数列{a_n}的通项公式不止一个，给出实例即证．
点评：本题考查了函数与数列的综合应用，也考查了函数与不等式的应用，数列递推公式的应用；解题时要细心分析，并适当的猜想，仔细解答．