Question

已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l₁与l₂的夹角为60°，且△POF的面积为时，求椭圆C的方程；

(2)当时，求的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)l₁的斜率为，l₂的斜率为，由l₁与l₂的夹角为60°，得．

　　整理，得．①

　　由得．由，得．

　　∴．②

　　由①②，解得，b＝1．∴椭圆C方程为：．

　　(2)由，F(c，0)及，得．

　　将A点坐标代入椭圆方程，得．

　　整理，得，

　　∴的最大值为，此时．

提示：

　　分析：(1)求椭圆方程即求a、b．根据题中的两个数量关系：l₁与l₂的夹角为60°，△POF的面积为，列出关于a、b的两个方程即可．

　　(2)由P、F的坐标求出A点的坐标，代入椭圆方程可得与a、b、c的关系，进而得出与离心率e的关系．

　　说明：本题考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，重点考查在圆锥曲线中解决问题的基本方法，转化能力，以及字母运算的能力．