Question

4．用对数求导法求下列函数的导数．
（1）x^y=y^x；
（2）y=（cosx）^sinx．

Answer 1

分析 根据取对数法，先进行化简，然后根据复合函数的导数公式，进行求导即可．

解答 解：（1）∵x^y=y^x；
∴lnx^y=lny^x；
即ylnx=xlny，
求函数的导数得：
y′lnx+$\frac{y}{x}$=lny+$\frac{x}{y}$y′
然后移项可以得到y′（lnx-$\frac{x}{y}$）=lny-$\frac{y}{x}$，
即y′=$\frac{lny-\frac{y}{x}}{lnx-\frac{x}{y}}$=$\frac{xylny-{y}^{2}}{xylnx-{x}^{2}}$
（2）∵y=（cosx）^sinx．
∴lny=ln（cosx）^sinx=sinxlncosx，
求函数的导数得$\frac{1}{y}$•y′=cosxlncosx+sinx$\frac{1}{cosx}$•（-sinx）=cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$，
则y′=（cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$）y=（cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$）•（cosx）^sinx．

点评 本题主要考查复合函数的导数的计算，利用取对数法，结合复合函数的导数公式是解决本题的关键．