Question

16．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx，若实数x₀满足f（x₀）＞log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，则x₀的取值范围是（0，1）．

Answer 1

分析 运用二倍角的正弦公式和对数的运算性质化简log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，再由函数f（x）的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（sin\frac{π}{8}cos\frac{π}{8}）$
=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（\frac{1}{2}sin\frac{π}{4}）$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx在（0，+∞）递减，
且f（1）=$\frac{1}{2}$，
又f（x₀）＞$\frac{1}{2}$=f（1），
即有0＜x₀＜1．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，同时考查二倍角的正弦公式的运用，属于中档题．