Question

7．在△ABC中，已知sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，求证：a+c=2b．

Answer 1

分析 利用条件，结合和角的正弦公式化简，再利用正弦定理，即可得出结论．

解答 证明：∵sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA$\frac{1+cosC}{2}$+sinC$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵A+B+C=π，
∴A+C=π-B，
∴sinA+sinC+sin（π-B）=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
∴根据正弦定理得：a+c=2b．

点评 本题考查和角的正弦公式，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．