Question

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）求证：存在，使得．

Answer 1

（1），；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于是a的各位数字的平方和，所以，；第二问，通过题干中给出的的定义设出的值，利用，得到的值，然后用作差法比较和的大小；第三问，用反证法，先假设不存在，使得，经过推理得出矛盾即可.
（1）；
．                           5分
（2）假设是一个位数（），
那么可以设，
其中且（），且．
由可得，．


所以．
因为，所以．
而，
所以，即．                           9分
（3）由（2）可知当时， ．
同理当时， ．
若不存在，使得．
则对任意的，有，总有．
则，
可得．
取，则，与矛盾．
存在，使得．                             14分