Question

已知圆，直线

（1）求证：直线恒过定点

（2）判断直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值及最短长度。

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）当直线垂直于时被截得弦长最短，此时，最短弦长为

【解析】

试题分析：（1）证明：直线的方程，

经整理得，                                            ……1分

由的任意性，                                                   ……3分

  恒过定点.                                                    ……5分

（2）解：因为直线恒经过圆内一点，当直线垂直于时被截得弦长最短.       ……7分

由、，直线斜率，

又直线与直线垂直， 直线的斜率为2，

于是，,                                                     ……9分

最短弦长为,                                                       ……11分

综上所述，当直线垂直于时被截得弦长最短，

此时，最短弦长为.                                                    ……12分

考点：本小题主要考查直线过定点、直线与圆的位置关系、弦长等问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

点评：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离、半弦长和半径组成一个直角三角形，这个直角三角形在解题时经常用到.