Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E=AC，∠ACD=60°．
求证：
（1）BE∥平面AC₁D；
（2）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴BC∥B₁C₁，
∵点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E，
∴BD=C₁E，BD∥C₁E，
∴四边形BDC₁E是平行四边形，
∴BE∥C₁D，又C₁D?平面AC₁D，BE?平面AC₁D，
∴BE∥平面AC₁D；
（2）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱得，CC₁⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，①
在△ACD中，CD=AC，∠ACD=60°，
由余弦定理得：AD==AC，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°即AD⊥BC，②
∵BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，③
∴由①②③得：AD⊥平面BCC₁B₁．
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
分析：（1）由BC∥B₁C₁，CD=B₁E，可得BD=C₁E，从而有四边形BDC₁E是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可使问题解决；
（2）由于CD=AC，∠ACD=60°，利用余弦定理可求得AD=AC，从而有AD⊥BC，继而得出AD⊥平面BCC₁B₁；利用面面垂直的判定定理即可得证．
点评：本题考查直线与平面的平行与平面与平面垂直的判定，着重考查线面平行与面面垂直的判定定理的应用，属于中档题．