Question

16．对于实数m，m＞0，存在函数f（x）=ax²（a＞0）图象上两点A、B，点A、B横坐标分别为1、m，使得$\overrightarrow{OA}$=λ（|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$）（λ为常数），其中点C（c，0）（c＞0），则实数m的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算求出|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$=（mc+mc$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，acm²，再由题意得到1+a²m²=m²-2m+1，分离参数m，得到m=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$，再根据函数的单调性，即可求出m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax²（a＞0）图象上两点A、B，点A、B横坐标分别为1、m，
∴A（1，a），B（m，am²），
∵C（c，0），
∴$\overrightarrow{OA}$=（1，a），$\overrightarrow{OB}$=（m，am²），$\overrightarrow{OC}$=（c，0），
∴|$\overrightarrow{OB}$|=m$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，|$\overrightarrow{OC}$|=c，
∴|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$=（mc+mc$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，acm²），
∵$\overrightarrow{OA}$=λ（|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$），
∴（1，a）=[λmc（1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$）+λacm²），
∴λmc（1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$）=1，且λcm²=1，
∴1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$=m，
∴$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$=m-1，
∴m-1＞0，
∴1+a²m²=m²-2m+1，
∴（a²-1）m=-2，
∴m=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$，
∴1-a²＞0，
即0＜a＜1，
∴m＞2
故选：C．

点评 本题以向量的坐标运算为载体，考查了参数的取值范围，以及根据函数的单调性求最值的问题，培养了转化能力和运算能力，属于中档题．