Question

11．如图，四棱锥V-ABCD的底面是直角梯形，VA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA=AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=a，点E是棱VA上不同于A，V的点．
（1）求证：无论点E在VA如何移动都有AB⊥CE；
（2）设二面角A-BE-D的大小为α，直线VC与平面ABCD所成的角为β，试确定点E的位置使$tanαtanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出AB⊥AC，AB⊥AV，由此能证明AB⊥CE．
（2）取BC中点F，以点A为坐标原点，AF，AD，AV所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出点E为VA的中点．

解答 证明：（1）连接AC，在直角梯形ABCD中，$AC=\sqrt{2}a，AB=\sqrt{2}a，BC=2a$，
所以BC²=AC²+AB²，所以AB⊥AC，…（1分）
又因为VA⊥平面，AB?平面ABCD，所以AB⊥AV，…（2分）
而AV∩AC=A，所以AB⊥平面VAC，…（3分）
又CE?平面VAC，所以AB⊥CE．…（4分）
解：（2）取BC中点F，以点A为坐标原点，AF，AD，AV所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
不妨设AE=λAV（0＜λ＜1），
可得B（a，-a，0），D（0，a，0），E（0，0，λa），
故$\overrightarrow{AB}=（a，-a，0），\overrightarrow{AE}=（0，0，λa）$，…（5分）
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=ax-ay=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=λaz=0}\end{array}\right.$，令x=1得，$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…（6分）
又$\overrightarrow{DE}=（0，-a，λa），\overrightarrow{DB}=（a，-2a，0）$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面DBE的一个法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{-y+λz=0}\\{x-2y=0}\end{array}}\right.$，令z=1，可得$\overrightarrow{n}$=（2λ，λ，1），…（7分）
故cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3λ}{\sqrt{2}•\sqrt{5{λ}^{2}+1}}$，即$cosα=\frac{3λ}{{\sqrt{2}\sqrt{5{λ^2}+1}}}$…（8分）
因为AC为VC在平面ABCD内的射影，所以∠CAV=β，
在Rt△VAC中，$tanβ=\frac{AV}{AC}=\frac{a}{{\sqrt{2}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（9分）
所以$tanαtanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以tanα=1，$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
即$\frac{3λ}{{\sqrt{2}\sqrt{5{λ^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$，…（11分）
又0＜λ＜1，所以$λ=\frac{1}{2}$，点E为VA的中点．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．