Question

16．已知函数f（x）=3^x-3^|x|，若3^tf（2t）-mf（t）≥0对于t∈[-2，-1]恒成立，则实数m范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{9}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• C． [$\frac{10}{9}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{10}{9}$]

Answer 1

分析 由t∈[-2，-1]时，3^tf（2t）-mf（t）≥0恒成立得到m（3^t-3^-t）≤3^t（3^2t-3^-2t），分离参数m后求出3^2t+1的最大值得答案．

解答 解：∵f（x）=3^x-3^|x|，由3^tf（2t）-mf（t）≥0，得3^t（3^2t-3^|2t|）-m（3^t-3^|t|）≥0，
即m（3^t-3^|t|）≤3^t（3^2t-3^|2t|），
∵t∈[-2，-1]，∴也就是m（3^t-3^-t）≤3^t（3^2t-3^-2t），
即$m≥\frac{{3}^{t}（{3}^{2t}-{3}^{-2t}）}{{3}^{t}-{3}^{-t}}$=3^t（3^t+3^-t）=3^2t+1．
∵t∈[-2，-1]，∴${3}^{2t}∈[\frac{1}{81}，\frac{1}{9}]$，则${3}^{2t}+1∈[\frac{82}{81}，\frac{10}{9}]$，
则m$≥\frac{10}{9}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题，恒成立问题多需要转化，涉及分离参数，同时转化过程提出了等价的要求，考查了函数最值的求法，属中档题．