Question

已知O为坐标原点,直线l经过点P(2,0),且与抛物线y²=4x交于A、B两个不同点.

(1)求证:直线OA与直线OB不垂直;

(2)点E(8,0)能否在以线段AB为直径的圆上?如果能,请求出此时直线l的方程；如果不能,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),

∵P、A、B共线,∴∥.

∴(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0.

由y₁²=4x₁,y₂²=4x₂得x₁=,x₂=,代入(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0,

化简得y₁y₂=-8.

∵=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),

∴x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=-4≠0.

∴与不垂直.

∴直线OA与直线OB不垂直.

(2)解:∵=(x₁-8,y₁),=(x₂-8,y₂),

如果点E(8,0)在以线段AB为直径的圆上,那么⊥.

∴(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.

将x₁=,x₂=,y₁y₂=-8代入(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0,∴y₁²+y₂²=30.

∴y₁+y₂=±=±.

∴直线AB的斜率存在,设其为k,则k==±.

∴直线AB的方程为y=±(x-2).

∴点E(8,0)能在以线段AB为直径的圆上.此时直线l的方程为y=±(x-2).