Question

16．已知函数$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（a∈R）$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，（不需证明）
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，解方程可得a=1，检验即可；
（2）由f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，可得函数f（x）在R上为单调递增函数；
（3）由题意可得f（t²+2）＞-f（t²-tk）=f（-t²+tk），2t²-tk+2＞0对任意t∈R恒成立，运用判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，
∴a=1，
当a=1时，$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
故a=1满足题意…（5分）
（2）函数f（x）在R上为单调递增函数…（7分）
（3）由（2）得f（t²+2）+f（t²-tk）＞0等价于f（t²+2）＞-f（t²-tk）=f（-t²+tk），
即t²+2＞-t²+tk∴2t²-tk+2＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=k²-16＜0即-4＜k＜4，
故k的取值范围为（-4，4）…（12分）

点评 本题考查函数的性质和运用，主要是奇偶性和单调性的判断和运用，考查恒成立问题解法，注意运用判别式法，考查化简整理和运算能力，属于中档题．