Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{2n-1}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n；
（Ⅲ）数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N*），且b₁=3．若不等式${log_2}（{b_n}-2）＜\frac{3}{16}{n^2}+t$对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（III）利用“累加求和”可得b_n，由不等式${log_2}（{b_n}-2）＜\frac{3}{16}{n^2}+t$，化为t＞$-\frac{3}{16}{n}^{2}$+n-1，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），∴当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n=2^n-1．
（II）$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
∴数列$\left\{{\frac{2n-1}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+$…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+2$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$2×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-1-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．
（III）∵数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N*），且b₁=3．
∴b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+3
=$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$+3
=2^n-1+2．
不等式${log_2}（{b_n}-2）＜\frac{3}{16}{n^2}+t$，
化为n-1＜$\frac{3}{16}{n}^{2}$+t，
∴t＞$-\frac{3}{16}{n}^{2}$+n-1，
令g（n）=$-\frac{3}{16}{n}^{2}$+n-1=-$\frac{3}{16}$$（n-\frac{8}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}$≤g（3）=$\frac{5}{16}$，
∴$t＞\frac{5}{16}$．
∴实数t的取值范围是$（\frac{5}{16}，+∞）$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、二次函数的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．