Question

11．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）设椭圆E的方程为：mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．利用方程组求解即可．
（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），求出|PQ|的最大值，推出结果．

解答 （12分）解：（1）设椭圆E的方程为：mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．
将M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）代入椭圆E的方程，得$\left\{\begin{array}{l}4m+n=1\\ 8m=1\end{array}\right.$…（3分）
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{2}$，所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$…（6分）
（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），
得$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{{（y-2）}^2}}=\sqrt{-3{y^2}-4y+12}$，
∵$y∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，
∴$y=-\frac{2}{3}$时，${|{PQ}|_{max}}=\frac{{2\sqrt{30}}}{3}$
此时P点坐标为$（±\frac{{2\sqrt{14}}}{3}，-\frac{2}{3}）$

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．