Question

函数f(x)=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

，x∈[0，

π

2

]的值域是

 

．

Answer 1

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，结合已知x的范围可求的范围，且有t²=1+2sinxcosx，代入已知函数中有，f(x)=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

=

2sinxcosx+1

1+sinx+cosx

=

t2

1+t

=

(1+t)2-2(1+t)+1

1+t

=t+1+

1

1+t

-2在[2，1+

2

]单调递增，从而可求．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，t²=1+2sinxcosx
∵x∈[0，

π

2

]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴t∈[1，

2

]
从而有，f（x）=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

=

2sinxcosx+1

1+sinx+cosx

=

t2

1+t

=

(1+t)2-2(1+t)+1

1+t

=t+1+

1

1+t

-2在[2，1+

2

]单调递增
当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=

π

2

，函数有最小值

1

2

当t+1=1+

2

即t=

2

时此时x=

π

4

，函数有最大值2

2

-2
故答案为：[

1

2

，2

2

-2]

点评：本题主要考查了利用同角平方关系建立sinx+cosx与sinxcosx之间的关系，从而可把已知函数化简为用一个变量t表示的函数，考查了利用分类常量及函数的单调性求函数的最值，综合性较好．