Question

(2007北京朝阳模拟)如下图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，D是点A在平面BCD内的射影．

(1)求直线EF与直线BC所成角的大小；

(2)求点O到平面ACD的距离；

(3)求二面角A－BE－F的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)因为E、F分别是棱AD、CD的中点．所以EF∥AC． 所以∠BCA是EF与BC所成角． ∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形， 所以∠BCA=60°． 即EF与BC所成角的大小是60°． (2)如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形， 所以BF⊥CD，AF⊥CD． 因为，所以CD⊥面AFB． 因为面ACD．所以面AFB⊥面ACD． 因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上． 在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G．所以OG⊥面ACD． 即OG的长为点O到面ACD的距离． 因为正四面体ABCD的棱长为1， 在△ABF中，容易求出， 因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出． 所以点O到平面ACD的距离是． (3)设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD． 设HD的中点为K，则FK∥CH．所以FK⊥面ABD． 在面ABD内，过点K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N， 因为BE⊥AD，所以NM⊥BE． 连结FM，所以FM⊥BE． 所以∠NMF是所求二面角的平面角． 因为， 所以． 所以． 所以所求二面角的大小为 (或者由正四面体的对称性，可转求二面角的大小)．