Question

（2013•丽水一模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足

OC

=λ(

OM

+

ON

)（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，把点（2，1）代入求得p即可；
（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足

OC

=λ(

OM

+

ON

)（λ＞0），即可得出λ的取值范围．

解答：解（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，
由已知得：2²=2p所以 p=2
所以抛物线的标准方程为 x²=4y．
（Ⅱ） 因为直线与圆相切，
所以 

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0
得 t＞0或t＜-3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4ky1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t=4k2+2t
由

OC

=λ(

OM

+

ON

)=λ(x1+x2，y1+y2)=(4kλ，(4k2+2t)λ)
得 C（4kλ，（4k²+2t）λ）
因为点C在抛物线x²=4y上，
所以，16k²λ²=4（4k²+2t）λ⇒λ=1+

t

2k2

=1+

t

2t2+4t

=1+

1

2t+4

因为t＞0或t＜-3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜-2
所以 λ的取值范围为 (

1

2

，1)∪(1，

5

4

)．

点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．