Question

【题目】已知M，N是平面两侧的点，三棱锥所有棱长是2，，，如图．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取线段中点D，分别连结，由平面几何的知识、线面垂直的判定平面，平面，进而可得平面与平面重合，再由平面几何的知识可得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；

（2）取线段的中点O，连结，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，再由即可得解.

（1）证明：取线段中点D，分别连结，

由条件得，，

，，，

与是平面内两相交直线，

与是平面内两相交直线，

平面，平面，

平面与平面重合，

，，

四边形是平行四边形，即．

平面，平面，

平面；

（2）取线段的中点O，连结，

由（1）知，平面，，，

，，，

又，平面，、、两两垂直，

以过O平行的直线为x轴，分别以直线为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，

，，

设平面的一个法向量，

，不妨取，得，

又平面的一个法向量，

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦为．