Question

【题目】对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数.

（1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围；

（2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”；

（3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将代入，依题意，即恒成立，设，求出函数的最小值即可得解；

（2）分析可知，即证，令，，方法一：由不等式的性质可知在上单调递减，在上单调递增，故，即得证；方法二：令，再对函数求导，可得当时，，当时，，进而得到的单调性，由此得证；

（3）问题等价于证明存在唯一整数，恒成立，易知当及时，不合题意，故只需证明时符合题意即可，方法一：记，分当或以及当时证明即可；

方法二：记，利用导数求其最大值小于0即可得证.

（1）时，.

因为为“型函数”，

所以恒成立，即恒成立.

设，则恒成立，

所以在，上单调递减，

所以（1），

所以的取值范围是；

（2）证明：当时，要证为“（1）型函数”，

即证，即证.

令，则，

方法一：当时，，，则；

当时，，，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

则（1），又（1），所以，

所以为“（1）型函数”.

方法二：令，则，

所以函数在上单调递增，又（1），

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

以下同方法一.

（3）证明：函数为“型函数”等价于恒成立，

当时，，不合题意；

当时，，不合题意；

当时，

方法一：，

①当或时，；

②当时，，由（2）知，

所以，

综上，存在唯一整数，使得为“型函数”.

方法二：，，

记，则，

所以在上单调递减.

易得，

所以；

又因为，

所以存在唯一零点，使得，

且为的最大值点，

所以，

注意到在上单调递增，

所以，所以.

综上，存在唯一整数，使得为“型函数”.