Question

在对数函数y=log 

1

2

x的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）判断函数S=f（t）的单调性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer 1

分析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），
对于（1）由图形得S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式
（2）根据（1）中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可
（3）由（2）所求的单调性求出三角形面积的最大值．

解答：解：（1）A、B、C三点坐标分别为（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），由图形，当妨令三点A，B，C在x轴上的垂足为E，F，N，则△ABC的面积为
S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+2）]-[log 

1

2

（t+2）+log 

1

2

（t+4））]+2[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4））]
=[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4）-2log 

1

2

（t+2）]=log2

(t+2)2

t2+4t

=log2(1+

4

t2+4t

)
即△ABC的面积为S=f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）

（2）f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）是复合函数，其外层是一个递增的函数，t≥1时，内层是一个递减的函数，故复合函数是一个减函数，
（3）由（2）的结论知，函数在t=1时取到最大值，故三角形面积的最大值是
S=f（1）=log2(1+

4

1 +4

)=log2

9

5

点评：本题考查对数函数的图象和性质的综合运算，解题时要结合图象进行分析求解，注意计算能力的培养．