Question

某客运公司买了每辆2a万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P（n）（万元）与年数n成正比，又知第3年每辆客车上述费用是该年客运收入的48%．
（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n的函数表达式；
（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？

Answer 1

分析：（1）客车第n年的各种费用总和P（n）与年数n成正比，设P（n）=kn，由第3年费用是该年客运收入的48%知k=0.16a，由此能求出运营的总利润．
（2）

y

n

=-0.08an-

2a

n

+0.92a≤-2

0.08an• 2a n

+0.92a=-0.8a+0.92a=0.12a，由此能求出每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大．

解答：解：（1）∵客车第n年的各种费用总和P（n）与年数n成正比，
设P（n）=kn，k为待定常数，
∵第3年费用是该年客运收入的48%，
∴0.48a=3k，
∴k=0.16a，
∴P（n）=0.16an，
∴运营的总利润y=an-0.16a（1+2+…+n）-2a=-0.08an²+0.92an-2a，n∈N
（2）

y

n

=-0.08an-

2a

n

+0.92a≤-2

0.08an• 2a n

+0.92a=-0.8a+0.92a=0.12a，
当且仅当0.08an=

2a

n

时成立，n∈N，
∴n²=25，
∴n=5，
∴运营5年可使其运营的年平均利润最大且最大值为0.12a．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要注意均值定理的灵活运用．